Да не вопрос. 
Иван Грозный
Сын его Фёдор
Алексей Тишайший
Трое его сыновей - Фёдор, Иоанн и Пётр
Екатерина Первая
Пётр Второй
Александр Первый (отца у него убили, конечно, и скорее всего при его участии, но он всё равно был первым в очереди на престолонаследие)
Николай Первый
Александр Третий
Не очень понимаю, почему должно быть такое ограничение.
Ну я же написала "как считать". Если обоих Лжедмитриев в цари записать, так и больше пяти выйдет.
OK

1.Иван Грозный. Простите, если мы считаем царей от Ивана Грозного, а мы договорились так, то никак нельзя сказать, что он царскую власть унаследовал. Он её создал. Власть его предка была чем-то качественно иным. Это спорный вопрос, я согласна, но по условию задачи так.
2.Фёдор Иоаннович. Да, подходит.
3. Алексей. Да, чистый, дистиллированный случай.
4.Фёдор Алексеевич. Да
5, 6. Пётр и Иоанн. Пётр, вообще-то стал царём именно что в результате переворота. Корону ему продавили в обход законного старшего брата. Брата при этом, правда не убили, а оставили для мебели, но самого факта переворота это не отменяет, скорее наоборот. Нормальные монархисты так не поступают. Но я готова признать этих двух за 0,5 случая.
7. Екатерина I. Подходит, но с натяжкой. Там были очень значительные элементы дворцового переворота. Очевидной для всех наследницей она не была. Вопрос, собственно решили орлы Меньшикова. к тому де срок - 2 года.
8. Пётр II- подходит, но опять-таки очень короткий срок. А стоило ли переворот устраивать, если кому не нравился?
9. Алесандр I. Ну если уж он не в результате переворота сел на трон, тогда я вообще не знаю. Вроде как во всех учебниках написано, что это был дворцовый переворот. Мало ли что, он был наследником. Мог и не дожить.
10. Николай I. Да.
11. Александр III. Да.
Итого имеем случаи 2,3,4,7, 8, 10, 11 и 5,6 как половинчатый. 7, 5 случаев, из них 2 (7,

слишком короткий срок, чтобы можно было проверить на выживаемость, 2 (2, 4) традиционно считаются крайне бледными и невнятными (хотя, возможно, зря). Ярких полнокровных царствования оставивших след в истории - 3,5.