Новый носок как двумерное многообразие топологически эквивалентен диску.
Я бы мог согласиться с этой фразой, если бы она была изложена несколько иначе: если бы новый носок представлял бы собой двумерное многообразие, он был бы эквивалентен диску.
Однако носок представляет собой трехмерное ориентируемое многообразие с одним компактифицированным измерением и, как таковой, топологически все же эквивалентен шару.
Если такой подход для Вас удобнее - ради бога. Только я никак не пойму, чем таким он удобнее. Могу еще предложить ансамбль переплетенных нитей, каждая из которых, в свою очередь...
Хиральность связана не с топологией, а с тем, что носок - двусторонняя поверхность.
А вот с этим я уже согласиться не могу. Хиральность есть квантовое состояние носка, оно подчинено законам сохранения (суммарная хиральность пары равна нулю), и хиральность двух носков пары связана квантовым сцеплением (в момент наблюдения хиральности одного носка пары определяется хиральность второго носка независимо от его положения).
Следует, видимо, уточнить. Есть носки, у которых определено положение большого пальца - в силу приближения формы носка к форме ноги, что может иметь разные причины. Такой носок в результате выворачивания из правого становится левым et vice versa.
Хотя сшить из носка с дыркой ленту Мёбиуса несложно
сложно - как минимум, нужно сделать его неориентируемым.
Не вижу препятствий. (c)* Стандартнейшая топологическая операция - проведение разреза от края дырки до наружной границы, с последующим совмещением разноименных концов разреза и его сшиванием.
, но это искусственная переделка, и самопроизвольно такое состояние не должно возникать (в отличие от одной и более дырок). И если носок имеет лицо и изнанку (не знаю, как это назвать по-научному), а хиральность учтена в форме носка, то возникают ограничения - например, один из двух носков в паре, правильно (хирально) надетых на одну ногу, будет надет наизнанку. Здесь мы не касаемся носков, снабженных подошвой, помпонами и прочим, которые надеть наизнанку затруднительно.
Вовсе нет - как сказано выше, при этой процедуре изменится не ориентация носка, а хиральность ноги.
Хиральность ноги вряд ли зависит от того, сколько носков на нее надето или сколько дырок в каждом из них. Поставим мысленный эксперимент: представим себе манекен, у которого в результате неправильной сборки нижние части ног поменялись местами. Т.е. на правую ногу можно надеть только левый ботинок - и наоборот. Вот здесь действительно проблема, а с носками - это так, цветочки. Не говоря уже про флейвор. Похожий случай был описан А. Сапковским - там на картине был изображен циклоп с двумя левыми ногами. Объясняли это вредными привычками талантливого художника.
*
Любимое выражение пана начальника тюрьмы Твардиевича (фильм Ва-Банк II).
P.S. А ведь действительно проблема: определять, правая нога или левая**, по месту крепления к корпусу или по расположению пальцев? Вариант по носку несерьезен: все же функции ноги богаче, чем ношение носка. Ну как функции головы не исчерпываются ношением шляпы if any (или даже доставкой пищи в организм). Представилось: вот уважаемый эр собирает манекен ксеноса (да хоть шоаррца) - без инструкции (или, того хуже, с инструкцией). Он вертит в руке пакет с пятью разными штучками и озадаченно смотрит на пять одинаковых дырочек в низу живота. "Не насилуй свой голова, купи наш всесильный Неволнуй!"
**
В термине хиральность мне чудится подвох. 
А определение Википедии - это вообще какой-то бред.
Хиральность (киральность) (англ. chirality, от др.-греч. χειρ - «рука») - отсутствие симметрии относительно правой и левой стороны. Например, если отражение объекта в идеальном плоском зеркале отличается от самого объекта, то объекту присуща хиральность.
